Matematyka wschodnioazjatycka

Wielki wczesny okres, I – VII wiek

Dziewięć rozdziałów

Dziewięć rozdziałów zakłada wiedzę matematyczną o tym, jak reprezentować liczby i jak wykonywać cztery operacje arytmetyczne: dodawania, odejmowania, mnożenia i dzielenia. W nim liczby są zapisane chińskimi znakami, ale w przypadku większości opisanych procedur rzeczywiste obliczenia mają być wykonywane na powierzchni, być może na ziemi. Najprawdopodobniej, jak można wywnioskować z późniejszych relacji, na tej powierzchni lub tablicy liczącej, liczby były reprezentowane przez pręty liczące (patrz rysunek), które były używane zgodnie z dziesiętnym systemem wartości miejsca. Liczby reprezentowane przez liczniki mogą być przenoszone i modyfikowane w ramach obliczeń. Jednak żadne pisemne obliczenia nie zostały zarejestrowane znacznie później. Jak się okaże, ustawienie obliczeń za pomocą prętów liczących miało duży wpływ na późniejsze osiągnięcia matematyczne.

Dziewięć rozdziałów zawiera wiele osiągnięć matematycznych, już w dojrzałej formie, które zostały przedstawione w większości kolejnych książek bez istotnych zmian. Najważniejsze osiągnięcia opisano krótko w dalszej części tego rozdziału.

Arytmetyka ułamków

Division to centralna operacja w Dziewięciu rozdziałach. Ułamki są definiowane jako część wyniku podziału, pozostała część dywidendy jest przyjmowana jako licznik, a dzielnik jako mianownik. W ten sposób dzieląc 17 przez 5, otrzymujemy iloraz 3, a resztę 2; daje to mieszaną ilość 3 + 2/5. Części ułamkowe są więc zawsze mniejsze niż jeden, a ich arytmetykę opisuje się za pomocą podziału. Na przykład, aby uzyskać sumę zestawu ułamków, instruuje się jeden

pomnóż liczniki przez mianowniki, które nie odpowiadają im, dodaj, aby otrzymać dywidendę. Pomnóż wszystkie mianowniki, aby uzyskać dzielnik. Wykonaj podział. Jeśli pozostała część, nazwij ją dzielnikiem.

Algorytm ten odpowiada nowoczesnej formule a / b + c / d = (ad + bc) / bd. Suma zbioru ułamków sama w sobie jest zatem wynikiem podziału postaci „liczba całkowita plus ułamek właściwy”. Wszystkie operacje arytmetyczne z udziałem ułamków są opisane w podobny sposób.

Algorytmy dla obszarów i objętości

Dziewięć rozdziałów podaje wzory na elementarne figury płaskie i bryłowe, w tym obszary trójkątów, prostokątów, trapezoidów, kół i segmentów kół oraz objętości pryzmatów, cylindrów, piramid i sfer. Wszystkie te formuły są wyrażone jako listy operacji, które należy wykonać na danych w celu uzyskania wyniku, tj. Jako algorytmy. Na przykład, aby obliczyć powierzchnię koła, podano następujący algorytm: „pomnóż średnicę samodzielnie, potrój ją, podziel przez cztery”. Algorytm ten polega na użyciu 3 jako wartości π. Komentatorzy dodali ulepszone wartości π wraz z niektórymi pochodnymi. Komentarz przypisany Liu Hui oblicza dwa inne przybliżenia π, jeden nieco niski (157/50) i jeden wysoki (3927/1250). Dziewięć rozdziałów zawiera również poprawną formułę dla obszaru koła - „pomnożenie połowy średnicy i połowy obwodu, jeden otrzymuje ten obszar” - co udowodnił Liu Hui.

Rozwiązanie układów równoczesnych równań liniowych

Dziewięć rozdziałów poświęca rozdział rozwiązaniu równoczesnych równań liniowych - to znaczy zbiorom relacji między nieznanymi a danymi (równaniami), w których żadna z nieznanych wielkości nie jest podniesiona do potęgi większej niż 1. Na przykład pierwszy problem w ten rozdział, dotyczący plonów z trzech gatunków zbóż, pyta:

3 pakiety najwyższej jakości ziarna, 2 pakiety średniej klasy i 1 pakiet niskiej jakości dają 39 jednostek ziarna. 2 zestawy najwyższej jakości, 3 zestawy średniej klasy i 1 pakiet niskiej jakości dają 34 jednostki. 1 pakiet najwyższej jakości, 2 pakiety średniej klasy i 3 pakiety niskiej jakości dają 26 jednostek. Ile jednostek daje pakiet każdego gatunku ziarna?

Procedura rozwiązywania układu trzech równań w trzech niewiadomych polega na ułożeniu danych na powierzchni obliczeniowej w postaci tabeli, jak pokazano na rysunku. Współczynniki pierwszego równania są ułożone w pierwszej kolumnie, a współczynniki drugiego i trzeciego równania w drugiej i trzeciej kolumnie. W konsekwencji liczby pierwszego rzędu, zawierające pierwszy współczynnik w każdym równaniu, odpowiadają pierwszemu nieznanemu. Jest to przykład zapisu wartości miejsce, w którym pozycja liczby w konfiguracji numerycznej ma znaczenie matematyczne. Głównym narzędziem rozwiązania jest zastosowanie redukcji kolumn (eliminacja zmiennych poprzez zmniejszenie ich współczynników do zera) w celu uzyskania równoważnej konfiguracji. Następnie nieznane z trzeciego rzędu znajduje się na podstawie podziału, a zatem znaleziono także drugie i pierwsze niewiadome. Algorytm ten znany jest na Zachodzie jako eliminacja Gaussa.

Algorytm opisany powyżej w zasadniczy sposób opiera się na konfiguracji nadanej zestawowi danych na powierzchni liczącej. Ponieważ procedura implikuje odejmowanie od kolumny do kolumny, daje to liczby ujemne. Dziewięć rozdziałów opisuje szczegółowe metody obliczania z dodatnimi i ujemnymi współczynnikami, które umożliwiają rozwiązanie problemów obejmujących od dwóch do siedmiu niewiadomych. Wydaje się, że jest to pierwsze wystąpienie liczb ujemnych w historii matematyki.