Fizyka mechaniki

Wektory

Równania mechaniki są zwykle zapisywane w kategoriach współrzędnych kartezjańskich. W pewnym momencie t położenie cząstki można określić, podając jej współrzędne x (t), y (t) i z (t) w określonym kartezjańskim układzie odniesienia. Jednak inny obserwator tej samej cząstki może wybrać inaczej zorientowany zestaw wzajemnie prostopadłych osi, powiedzmy x ′, y ′ i z ′. Ruch cząstki jest następnie opisywany przez pierwszego obserwatora w kategoriach szybkości zmiany x (t), y (t) i z (t), podczas gdy drugi obserwator omawia prędkości zmiany x ′ (t), y ′ (t) i z ′ (t). Oznacza to, że obaj obserwatorzy widzą tę samą cząsteczkę wykonującą ten sam ruch i przestrzegającą tych samych praw, ale opisują sytuację różnymi równaniami. Tej niezręcznej sytuacji można uniknąć za pomocą konstrukcji matematycznej zwanej wektorem. Chociaż wektory są matematycznie proste i niezwykle przydatne w omawianiu mechaniki, nie zostały opracowane w nowoczesnej formie do końca XIX wieku, kiedy to J. Willard Gibbs i Oliver Heaviside (odpowiednio ze Stanów Zjednoczonych i Wielkiej Brytanii) zastosowali analizę wektorową w aby pomóc wyrazić nowe prawa elektromagnetyzmu zaproponowane przez Jamesa Clerk Maxwella.

fizyka: mechanika

Bitwa o kopernikanizm toczyła się zarówno w dziedzinie mechaniki, jak i astronomii. System ptolemejsko-arystotelesowski stał lub upadł

Wektor to wielkość, która ma zarówno wielkość, jak i kierunek. Zazwyczaj jest reprezentowana symbolicznie przez strzałkę we właściwym kierunku, której długość jest proporcjonalna do wielkości wektora. Chociaż wektor ma wielkość i kierunek, nie ma pozycji. Wektor nie zostanie zmieniony, jeśli zostanie przesunięty równolegle do siebie, o ile jego długość nie ulegnie zmianie.

W przeciwieństwie do wektora, zwykła wielkość o wielkości, ale bez kierunku, jest znana jako skalar. W pracach drukowanych wektory są często reprezentowane przez pogrubione litery, takie jak A lub X, a skalary są reprezentowane przez litery lightface, A lub X. Wielkość wektora, oznaczona | A | sam jest skalarem - tj. | A | = A.

Ponieważ wektory różnią się od zwykłych (tj. Skalarnych) wielkości, wszystkie operacje matematyczne z udziałem wektorów muszą być dokładnie zdefiniowane. Omówimy tutaj dodawanie, odejmowanie, trzy rodzaje mnożenia i różnicowanie. Nie ma operacji matematycznej, która odpowiadałaby podziałowi przez wektor.

Jeśli wektor dodaje się do wektora B, w wyniku inny wektor, C, napisany + B = C. Operacja jest wykonywana przez przesunięcie B, tak aby zaczynało się tam, gdzie kończy się A, jak pokazano na rysunku 1A. C jest wtedy wektorem, który zaczyna się tam, gdzie zaczyna A, a kończy tam, gdzie kończy się B.

Dodawanie wektorów jest zdefiniowany tak, że przycisk (nietrywialna) własność A + B = B + A. Istnieją wielkości o wielkości i kierunku, które nie spełniają tego wymogu. Przykładem są skończone obroty w przestrzeni. Dwa skończone obroty ciała wokół różnych osi niekoniecznie prowadzą do tej samej orientacji, jeśli są wykonywane w odwrotnej kolejności.

Odejmowanie wektora jest zdefiniowane przez A - B = A + (- B), gdzie wektor - B ma taką samą wielkość jak B, ale kierunek przeciwny. Pomysł pokazano na rycinie 1B.

Wektor można pomnożyć przez skalar. Na przykład wektor 2 A ma ten sam kierunek co A, ale jest dwa razy dłuższy. Jeśli skalar ma wymiary, wynikowy wektor nadal ma ten sam kierunek co pierwotny, ale nie można ich porównać pod względem wielkości. Na przykład cząstka poruszająca się ze stałą prędkością v ulega przesunięciu s w czasie t podanym przez s = v t. Wektor v został pomnożony przez skalar t, aby dać nowy wektor s, który ma ten sam kierunek co v, ale nie można go porównać do v pod względem wielkości (przemieszczenie o jeden metr nie jest ani większe, ani mniejsze niż prędkość jednego metra na sekundę). Jest to typowy przykład zjawiska, które może być reprezentowane przez różne równania w różnie zorientowanych kartezjańskich układach współrzędnych, ale które ma jedno równanie wektorowe (dla wszystkich obserwatorów, którzy nie poruszają się względem siebie).

Produkt kropkowy (znany również jako iloczyn skalarny, a czasem iloczyn wewnętrzny) to operacja, która łączy dwa wektory w celu utworzenia skalara. Operacja jest napisane A · B. Jeśli θ jest (mniejszym) kątem między A i B, wówczas wynikiem operacji jest A · B = AB cos θ. Iloczyn punktowy mierzy stopień, w jakim dwa wektory są równoległe. Można to uznać za pomnożenie wielkości jednego wektora (jednego) przez rzut drugiego na niego, jak pokazano na rycinie 1C. Jeśli dwa wektory są prostopadłe, iloczyn skalarny wynosi zero.

Produkt krzyżowy (znany również jako produkt wektorowy) łączy dwa wektory, tworząc kolejny wektor, prostopadły do ​​płaszczyzny oryginalnych wektorów. Operacja jest napisane × B. Jeśli θ jest (mniejszym) kątem między A i B, to | A × B | = AB sin θ. Kierunek A × B podany jest według reguły prawej ręki: jeśli palce prawej ręki obracają się od A do θ do B, kciuk wskazuje w kierunku A × B, jak pokazano na rysunku 1D. Iloczyn krzyżowy wynosi zero, jeśli dwa wektory są równoległe, i ma maksymalną wartość, jeśli są one prostopadłe.

Pochodna lub szybkość zmian wektora jest zdefiniowana w doskonałej analogii do pochodnej skalara: jeśli wektor A zmienia się z czasem t, to

Przed przejściem do granicy po prawej stronie równania (1) opisane operacje to odejmowanie wektorów [A (t + Δt) - A (t)] i mnożenie skalarne (o 1 / Δt). Wynik d A / dt jest zatem samym wektorem. Zauważ, że jak pokazano na rycinie 1B, różnica między dwoma wektorami, w tym przypadku A (t +)t) - A (t), może być w zupełnie innym kierunku niż którykolwiek z wektorów, z których jest utworzony, tutaj A (t + tt) i A (t). W rezultacie d A / dt może być w innym kierunku niż A (t).

Prawa dynamiki i równowagi Newtona

W swojej Principii Newton zredukował podstawowe zasady mechaniki do trzech praw:

1. Każde ciało jest w stanie spoczynku lub ruchu jednostajnego w linii prostej, chyba że jest zmuszone do zmiany tego stanu przez siły na niego wywierane.

2. Zmiana ruchu obiektu jest proporcjonalna do wywieranej siły i odbywa się w kierunku linii prostej, w której wywierana jest siła.

3. Każdemu działaniu zawsze sprzeciwia się równa reakcja; lub wzajemne działania dwóch ciał względem siebie są zawsze równe i skierowane na przeciwne części.

Pierwsze prawo Newtona jest powtórzeniem zasady bezwładności, zaproponowanej wcześniej przez Galileusza i udoskonalonej przez Kartezjusza.

Drugie prawo jest najważniejsze z trzech; bardzo blisko można zrozumieć podsumowanie całej mechaniki klasycznej. Newton użył słowa „ruch”, aby oznaczać to, co dziś nazywa się pędem - to znaczy iloczyn masy i prędkości lub p = m v, gdzie p jest pędem, m masą, a v prędkością ciała. Drugie prawo można następnie zapisać w postaci równania F = d p / dt, gdzie F jest siłą, pochodna czasu wyraża „zmianę ruchu Newtona”, a postać wektorowa równania zapewnia, że ​​zmiana jest w w tym samym kierunku co siła, jak wymaga drugie prawo.

Dla ciała, którego masa się nie zmienia, gdzie a jest przyspieszeniem. Zatem drugie prawo Newtona można przyjąć w następującej formie:

Prawdopodobnie słusznie jest powiedzieć, że równanie (2) jest najbardziej znanym równaniem w całej fizyce.

Trzecie prawo Newtona zapewnia, że ​​gdy dwa ciała oddziałują na siebie, bez względu na charakter interakcji, nie wytwarzają siły netto działającej na układ dwóch ciał jako całości. Zamiast tego istnieje para akcji i reakcji równych i przeciwnych sił, każda działająca na inne ciało (siły akcji i reakcji nigdy nie działają na to samo ciało). Trzecie prawo ma zastosowanie bez względu na to, czy ciała są w spoczynku, w ruchu jednostajnym, czy w ruchu przyspieszonym.

Jeśli na ciało działa siła netto, podlega on przyspieszonemu ruchowi zgodnie z drugim prawem. Jeśli nie ma siły netto działającej na ciało, albo dlatego, że w ogóle nie ma sił, albo dlatego, że wszystkie siły są dokładnie zrównoważone przez siły przeciwne, ciało nie przyspiesza i można powiedzieć, że jest w równowadze. I odwrotnie, ciało, które nie jest przyspieszane, można wywnioskować, że nie działa na niego żadna siła netto.

Rozważmy na przykład masywny obiekt spoczywający na stole. Wiadomo, że na obiekt działa siła grawitacji Ziemi; jeśli tabela zostanie usunięta, obiekt spadnie. Wynika z tego, że przedmiot nie spada, że ​​stół wywiera na obiekt siłę skierowaną do góry, równą i przeciwną do siły grawitacji skierowanej w dół. Ta siła skierowana w górę nie jest zwykłym narzędziem księgowym fizyka, ale raczej prawdziwą siłą fizyczną. Powierzchnia stołu jest lekko zdeformowana przez ciężar obiektu, powodując, że powierzchnia wywiera siłę analogiczną do siły wywieranej przez sprężynę zwojową.

Warto przypomnieć następujące rozróżnienie: masywny przedmiot wywiera na stół siłę skierowaną w dół, która jest równa i przeciwna do siły wywieranej przez stół (z powodu jego odkształcenia) na przedmiot. Te dwie siły to para akcji i reakcji działająca na różnych ciałach (jedna na stole, druga na obiekcie), zgodnie z trzecim prawem Newtona. Z drugiej strony, siła skierowana w górę na przedmiot przez stół jest równoważona przez siłę skierowaną w dół na obiekt przez grawitację Ziemi. Te dwie równe i przeciwne siły, działające na to samo ciało, nie są powiązane z trzecim prawem Newtona ani z nim, lecz powodują równowagę w nieruchomym stanie ciała.